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type: method
slug: chained-multilateral-index
name_ko: 연쇄 다국간 지수
name_en: Chained Multilateral Index
categories:
  - '[[productivity-analysis]]'
aliases:
  - Good-Nadiri-Sickles index
  - chained multilateral productivity index
  - translog multilateral index
last_updated: '2026-05-19T23:30:00+09:00'
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# 연쇄 다국간 지수

*Chained Multilateral Index*

> 다수 의사결정단위 (기업, 산업, 국가) 의 패널 데이터에서 총요소생산성을 일관되게 비교하기 위해, 매 시점 표본 평균을 기준점 (reference) 으로 삼아 인접 시점들을 연쇄적으로 결합한 translog 지수. Caves-Christensen-Diewert (1982) 의 양변 비교 (bilateral) 지수를 Good-Nadiri-Sickles (1996) 가 다변 (multilateral) 으로 확장한 변형이다. transitivity (A 대 B, B 대 C 의 비교가 A 대 C 비교와 일관됨) 와 characteristicity (인접 시점의 가격·생산구조를 반영) 를 동시에 달성하는 것이 핵심.

- **유형**: 모수 (translog), 인덱스, 패널 데이터 기반
- **핵심 가정**: 생산함수가 translog 형태로 근사 가능, 가격 데이터 가용, 시장이 perfectly competitive (Diewert 의 superlative 가정)
- **주요 변형**: bilateral translog (CCD 1982), multilateral Törnqvist, EKS index, sequential chained multilateral

## 개요

Caves, Christensen, Diewert (1982) 의 *Economic Journal* 논문이 translog 거리함수 기반 양변 비교 지수의 출발점이다. Diewert (1976) 의 *superlative index* 이론이 그 이론적 토대인데, 핵심 정리는 "Törnqvist (translog 가중) 지수와 Fisher 지수는 translog · 일반 quadratic 생산함수의 정확한 (exact) 지수다" 이다. 그러나 양변 비교는 transitivity 를 위반한다 (A↔B, B↔C 가 알려져도 A↔C 가 일관되지 않음). Good-Nadiri-Sickles (1996) 의 *NBER Working Paper* / *Handbook chapter* 가 표본 평균을 기준점으로 삼는 multilateral 변형을 제안해 transitivity 를 회복했고, 인접 시점만 연쇄적으로 결합하면 characteristicity (시점별 가격·생산구조 반영) 도 보존된다. 이후 항공·은행·제조업 패널 데이터의 TFP 비교에서 사실상의 표준 지수가 됐고, [[malmquist-productivity-index]] 의 parametric 대응물로 자리잡았다.

## 핵심 식·정의

산업 $i$, 시점 $t$ 의 생산성을 산업 평균과 시점 평균에 대해 정규화한 translog 지수는 다음과 같이 정의된다.

$$
\ln \text{TFP}_{it} = (\ln Y_{it} - \overline{\ln Y_t}) - \sum_{j} \tfrac{1}{2}(s_{j,it} + \bar s_{j,t}) (\ln X_{j,it} - \overline{\ln X_{j,t}}) + \sum_{\tau=2}^{t} \big[ (\overline{\ln Y_\tau} - \overline{\ln Y_{\tau-1}}) - \sum_j \tfrac{1}{2}(\bar s_{j,\tau} + \bar s_{j,\tau-1})(\overline{\ln X_{j,\tau}} - \overline{\ln X_{j,\tau-1}}) \big]
$$

여기서 $Y_{it}$ 는 산출, $X_{j,it}$ 는 투입요소 $j$ 의 양, $s_{j,it}$ 는 그 비용 점유율, 윗줄 (overline) 은 시점별 표본 평균이다. 앞의 두 항이 시점 $t$ 의 표본 평균을 기준으로 한 cross-section 비교 (multilateral 부분), 뒤의 시그마 항이 시점 평균의 인접 시점 변화를 연쇄적으로 누적한 시계열 비교 (chained 부분) 다. 이 결합으로 임의의 두 (산업, 시점) 쌍의 TFP 비교가 transitivity 를 만족한다.

## TEMEP 라인

[[inha-oh]] 라인이 연쇄 다국간 지수의 TEMEP 응용 backbone 이다. [[inha-oh-2008-time-trend-general-index]] 가 general index 와 연쇄 다국간 translog 지수를 결합해 한국 제조업 산업 간 TFP 격차를 분해한 anchor 논문이고, [[inha-oh-2009-comparative-plant-dynamics]] 가 플랜트 수준 패널에서 같은 지수로 plant dynamics 와 TFP 의 동적 관계를 추적한다. [[inha-oh-2009-credit-guarantee-selection-bias]] 는 신용보증 평가에서 selection bias 를 다루며 TFP 지수를 결합 사용한다.

같은 라인의 확장으로 [[hun-jun-lee-2017-cleansing-effect-total-factor-productivity]] 가 *cleansing effect* (경기 침체기에 비효율 기업 퇴출로 TFP 향상) 를 한국 패널 데이터에서 검증하면서 chained multilateral 지수를 핵심 도구로 사용했고, [[jeongdonglee-2010-rd-intensity-firm-growth]] 가 R&D intensity 와 firm growth 의 관계를 같은 TFP 지수 기반으로 분석한다. [[malmquist-productivity-index]] 가 비모수 frontier 기반이라면 chained multilateral index 는 모수 translog 기반의 보완 도구로, TEMEP 의 생산성 분석 클러스터에서 둘이 사실상 짝을 이룬다.

## See also

- 관련 method: [[malmquist-productivity-index]], [[total-factor-productivity]], [[translog-production-function]], [[stochastic-frontier-analysis]]
- 관련 concept: [[transitivity]], [[superlative-index]], [[productivity-frontier]]
- 핵심 paper: [[inha-oh-2008-time-trend-general-index]], [[inha-oh-2009-comparative-plant-dynamics]], [[hun-jun-lee-2017-cleansing-effect-total-factor-productivity]], [[inha-oh-2009-credit-guarantee-selection-bias]], [[jeongdonglee-2010-rd-intensity-firm-growth]]