---
type: paper
slug: chulwoo-baek-2009-data-envelopment-analysis-benchmarking
title: The relevance of DEA benchmarking information and the Least-Distance Measure
authors:
  - '[[chulwoo-baek]]'
  - '[[jeongdonglee]]'
year: 2009
venue: '[[mathematical-and-computer-modelling]]'
volume: '49'
pages: 265-275
doi: 10.1016/j.mcm.2008.08.007
categories:
  - '[[productivity-analysis]]'
  - '[[decision-methods]]'
methods:
  - '[[data-envelopment-analysis]]'
  - '[[least-distance-measure]]'
  - '[[slack-minimization]]'
  - '[[pareto-efficient-set]]'
themes:
  - '[[dea-benchmarking]]'
  - '[[efficiency-measure-properties]]'
  - '[[strongly-efficient-set]]'
aliases: []
last_updated: '2026-05-20T02:18:39+09:00'
---
# The relevance of DEA benchmarking information and the Least-Distance Measure

*[[chulwoo-baek]], [[jeongdonglee]] (2009)* · [[mathematical-and-computer-modelling]] 49(1-2):265–275 · [DOI ↗](https://doi.org/10.1016/j.mcm.2008.08.007)

> [[data-envelopment-analysis]] (DEA) 의 *benchmarking 정보* 는 비효율 DMU 가 효율 frontier 로 어떻게 이동할지의 *처방* 을 제공하지만, 기존 모형 (BCC orientation, RAM/Russell slack-max, Frei-Harker least-norm projection) 은 (i) *가장 먼* 효율점을 benchmark 으로 제시하거나 (slack max), (ii) hypothesis hyperplane 위의 *가능 영역 밖* projection 을 생성하거나, (iii) *well-defined* efficiency measure (P1: 0–1 range, P2: monotonicity, P3: translation invariance, P4: unit invariance) 를 만족하지 못한다. 본 paper 는 [[least-distance-measure]] (LDM) 를 제안 — *strongly efficient set* $E$ 에서 *가장 가까운* benchmark 를 찾는 projection 으로, 비효율 DMU 가 *attainable* 한 처방을 제공하면서 동시에 4 properties 모두 만족하는 well-defined 측도. 4-step linearization 알고리즘으로 standard LP 로 풀 수 있다.

- **RQ**: 기존 [[data-envelopment-analysis]] benchmarking 정보의 한계 — *가장 먼 benchmark* 제시 또는 *not-well-defined* efficiency measure — 을 어떻게 극복할 수 있으며, *가장 가까운* benchmark 와 *well-defined* efficiency measure 를 동시에 제공하는 모형은 어떻게 설계되는가?
- **방법론**: [[least-distance-measure]] (LDM) — strongly efficient set 의 정의 + range-normalized Euclidean distance 의 minimization + Pareto efficient subset 위의 projection; [[slack-minimization]] 의 일반화; [[pareto-efficient-set]] (DEA-extreme-efficient set 과 동등) 위에서 quadratic minimization
- **데이터**: 본 paper 는 *방법론* 으로 실증 데이터 없음. 다만 conceptual figure 1 (LDM 의 benchmark 위치) 와 후속 paper 의 응용에서 검증
- **주요 발견**: (i) LDM 의 efficiency measure $\theta = \max [1 - (1/(m+s)) \{ \sum (x_i - x_i^o / R_i^-)^2 + \sum (y_r - y_r^o / R_r^+)^2 \}^{1/2}]$ 가 P1–P4 모두 만족, (ii) 4-step 알고리즘 — additive DEA → Pareto efficient set → $\binom{t}{m+s}$ 조합 × quadratic distance → 최소 distance benchmark 선택, (iii) Frei-Harker 의 supporting hyperplane projection 의 *불가 영역* 문제 해결 (LDM 은 strongly efficient set 위 projection 이라 항상 가능 영역 안), (iv) Cooper et al (1999) 의 GEM properties 5 가지 (range / monotonicity / unit invariance / translation invariance / fully efficient point at 1) 의 검증 완료
- **시사점**: DEA benchmarking 정보의 *attainable* (실현 가능) 처방 제공 — 비효율 firm 의 *학습 부담* 최소화. Sapienza et al · Lane-Lubatkin 의 *learning 의 similarity-driven* 가설과 호환. 실제 정책·전략 응용에서 *최소 변화* 의 benchmark 가 *현실적 도달 가능성* 의 핵심

![Fig. 1. Least-Distance Measure 의 conceptual framework: 비효율 DMU 에서 strongly efficient set $E$ 까지의 *최단* projection 으로 benchmark 찾기. 기존 orientation model (input 만 수축 vs output 만 확장) 의 *제약 방향* 한계와 slack-max model (RAM, Russell) 의 *가장 먼* benchmark 한계를 동시에 해결.](/papers/200901_BaekC_The_relevance_of_DEA_benchmarking_information_and_the_Least_Distance_Measure/fig1.png)

## 요약

[[data-envelopment-analysis]] (DEA) 는 1978 년 Charnes-Cooper-Rhodes (CCR) 이후 *non-parametric efficiency 측정* 의 표준 도구로 자리잡았으며, 두 종류의 정보를 동시에 생성한다 — (i) DMU (Decision Making Unit) 의 efficiency level (0–1 사이 점수), (ii) 비효율 DMU 가 효율 frontier 로 이동하는 *처방* (benchmarking 정보, 어느 input 을 얼마나 줄이고 어느 output 을 얼마나 늘릴 것인가). 그러나 기존 모형은 *efficiency 측정* 에 focus 하고 *benchmarking 의 quality* — 비효율 firm 이 *실현 가능* 한 처방인가 — 에는 secondary 한 위치를 부여한다. González-Álvarez (2002), Bogetoft-Hougaard (1999), Coelli (1998) 등은 *가장 similar 한 efficient firm* 이 가장 좋은 benchmark 임을 주장 — 학습 부담이 가장 작기 때문.

본 paper 의 motivation 은 *DEA benchmarking 의 attainability* — 처방 의 *실현 가능성*. 기존 모형의 한계:
- **BCC orientation model** (Banker-Charnes-Cooper 1984): equiproportionate input contraction (또는 output expansion) 만 허용 — 한 dimension 만 변화, 다른 dimension fixed. 현실적 firm 은 양 dimension 동시 조정 needs.
- **Range Adjusted Measure (RAM)** (Cooper-Park-Pastor 1999): slack 의 합을 *최대화* — *가장 먼* benchmark 가 제시됨. P1–P4 properties 모두 만족하지만 "가장 먼 benchmark" 는 비효율 firm 에 *비현실적* 처방.
- **Russell measure** (Färe-Lovell 1978): RAM 과 유사 slack-max 형태로 같은 한계.
- **Frei-Harker (1999)** 의 least-norm projection: 양 dimension 동시 변화 + 가장 가까운 점 — 그러나 *supporting hyperplane* 위 projection 이라 *생산 가능 영역 밖* 으로 projection 될 수 있음. 또한 objective value 가 unit invariance 위반, 0–1 사이 not 보장.
- **Portela et al (2003)** 의 Pareto-efficient facet: nonlinear multiplicative form 으로 analytic solution 부재. translation invariance 위반 (음 output 사용 어려움).

본 paper 의 [[least-distance-measure]] (LDM) 은 두 문제를 동시에 해결. 핵심 아이디어:
1. **Strongly efficient set $E$** 정의 (Eq. 5) — Charnes-Cooper-Lewin-Seiford (1994) 의 *DEA-extreme-efficient set* 와 동등한 primal-space 표현. supporting hyperplane 이나 Pareto-efficient facet 대신 *strong efficiency* 의 *DMU points + convex combination* 위에서 projection.
2. **Range-normalized Euclidean distance 의 minimization** (Eq. 6) — 비효율 DMU $(x^o, y^o)$ 와 $E$ 의 distance $\sqrt{\sum_i ((x_i - x_i^o)/R_i^-)^2 + \sum_r ((y_r - y_r^o)/R_r^+)^2}$ 를 최소화. range $R_i^- = \max\{x_{ij}\} - \min\{x_{ij}\}$ 로 normalize 해 unit invariance 보장.
3. **Efficiency measure $\theta$** (Eq. 6): $\theta = \max [1 - (1/(m+s)) \cdot$ Euclidean distance$]$. P1 (0–1 range), P2 (strong monotonicity), P3 (unit invariance), P4 (translation invariance) 모두 만족 (Eq. 7–13 에서 증명).
4. **4-step 알고리즘** (Section 3.2): (i) additive DEA → Pareto efficient set $E$ 분류, (ii) $E$ 의 $m+s$ 차원 조합 enumerate, (iii) 각 조합에 대해 quadratic distance 최소화 (LP 풀 수 있게 linearize), (iv) 최소값 갖는 조합 select. *컴퓨터 시간 polynomial 한 $\binom{t}{m+s}$ 의 worst case enumeration* 이지만 standard LP 로 풀 수 있다.

본 paper 의 contribution 은 *모든 well-defined efficiency measure properties + attainable benchmark + 양 dimension 동시 조정 + 생산 가능 영역 내 projection* 의 *동시 만족* — 기존 모형 중 일부만 충족하던 desiderata 의 통합. 한국 firm-level DEA 분석 (Inha Oh · Jeong-Dong Lee 의 후속 작업) 에서 표준 측도로 활용. 한계는 (i) Pareto efficient set 의 조합 enumeration 이 large dataset 에서 computational 부담, (ii) Euclidean distance 가 *경제적* distance 와 항상 일치 못함 — 일부 input 의 *practical* 조정 비용이 다른 input 보다 크다면 weighted distance 필요, (iii) Halme et al (1999) 의 Value Efficiency Analysis (VEA) 처럼 decision maker preference 의 통합 부재.

## 핵심 결과

**LDM efficiency measure (Eq. 6, conceptual form)**

$$
\theta = \max \left[ 1 - \frac{1}{m+s}\left\{\sum_{i=1}^{m} \left(\frac{x_i - x_i^o}{R_i^-}\right)^2 + \sum_{r=1}^{s} \left(\frac{y_r - y_r^o}{R_r^+}\right)^2\right\}^{1/2} \right]
$$

$\text{s.t. } (x, y) \in E$. $R_i^- = \max\{x_{ij}\} - \min\{x_{ij}\}$, $R_r^+ = \max\{y_{rj}\} - \min\{y_{rj}\}$.

**Properties 검증 (P1–P4 만족)**

| Property | LDM 검증 |
|---|---|
| P1: $0 \le \theta \le 1$, $\theta = 1$ iff 완전 효율 | 만족 (Eq. 7, 8 의 normalization) |
| P2: Strong monotonicity | 만족 (Eq. 11 의 ceteris paribus 증명) |
| P3: Unit invariance | 만족 (Eq. 12 의 range normalization) |
| P4: Translation invariance | 만족 (Eq. 13 의 평행이동 불변) |

**기존 모형 vs LDM 비교**

| Model | Benchmark 위치 | Well-defined? | 양 dimension 동시? |
|---|---|---|---|
| BCC orientation | One-dimension shift | YES | NO |
| RAM (slack-max) | 가장 먼 효율점 | YES | YES |
| Russell measure | 가장 먼 효율점 | YES (Graph form) | YES |
| Frei-Harker least-norm | 가장 가까운 supporting hyperplane | NO (P3, P1 위반) | YES |
| Portela et al Pareto-efficient | 가장 가까운 facet | NO (P4 위반) | YES |
| **LDM (본 paper)** | **가장 가까운 strongly efficient set** | **YES (P1–P4)** | **YES** |

**4-step 알고리즘 (Section 3.2)**

1. Additive DEA 로 각 DMU 가 Pareto efficient 여부 분류 → $E$ 구성
2. 비효율 DMU 에 대해 $E$ 의 $\binom{t}{m+s}$ 조합 enumerate ($t = |E|$)
3. 각 조합에서 quadratic distance 최소화 (LP linearization 가능)
4. 최소 distance 조합을 benchmark 으로 선택, efficiency $\theta$ 계산

## 방법론 노트

**Strongly efficient set 정의** (Eq. 5):

$$
E = \{(x, y) \mid \max(e^T s^+ + e^T s^-) = 0, \ (s^+, s^-) = (x - X\lambda, Y\lambda - y), \ e^T \lambda = 1, \lambda \ge 0\}
$$

$e^T = (1, 1, \ldots, 1)$. 즉 *모든 slack 합이 0* 인 점 + convex combination. Charnes-Cooper-Lewin-Seiford (1994) 의 DEA-extreme-efficient set 와 동등하지만 *primal space* 에서 정의되어 *least-distance* 측정 직관 부합.

**Production possibility set $P_C$** (Eq. 1, convex 기술 가정):

$$
P_C = \{(x, y) \mid x \ge X\lambda, \ y \le Y\lambda, \ e\lambda = 1, \lambda \ge 0\}
$$

$X = (x_j)$, $Y = (y_j)$ 의 DMU 벡터.

**P1 (range 0–1) 증명** (Eq. 7–10):

- $0 \le (x_i^o - x_i)/R_i^- \le 1$, $0 \le (y_j - y_j^o)/R_j^+ \le 1$
- $\sum_i ((x_i - x_i^o)/R_i^-)^2 + \sum_j ((y_j - y_j^o)/R_j^+)^2 \le m + s$ (Eq. 8) — 따라서 $\theta$ 가 0–1 사이
- 완전 효율 DMU ($p$): 모든 normalized 차이 = 0 → $\theta = 1$ (Eq. 9)
- 완전 비효율 DMU ($q$): 모든 차이 = 1 (range 의 한계점에 도달) → $\theta = 0$ (Eq. 10)

**P2 (monotonicity) 증명** (Eq. 11): $i$ 번째 input 에 $\delta > 0$ 추가 시 benchmark $(x^*, y^*)$ 와의 distance 가 $\delta/R_i^-$ 만큼 증가 → $\theta$ 감소. 따라서 *ceteris paribus* monotonicity 만족.

**P3 (unit invariance) 증명** (Eq. 12): $x_i$ 에 상수 $c$ 곱하면 range $R_i^-$ 도 $c R_i^-$ 로 동시에 변화 → $(x_i^o)/R_i^- = (c x_i^o)/(c R_i^-)$ — normalized 값 불변.

**P4 (translation invariance) 증명** (Eq. 13): $i$ 번째 input 에 상수 $d$ 더하면 strongly efficient set $E$ 와 DMU $(x^o, y^o)$ 모두 $x_i$ 축으로 $d$ 만큼 평행이동 → distance 불변. Banker (1984) 의 negative input 처리, Pastor (1996) 의 negative output 처리 가능.

알고리즘의 핵심 trick 은 step 2 의 *조합 enumeration*. $E$ 의 모든 $m+s$ 차원 부분집합 ($\binom{|E|}{m+s}$ 가지) 각각에 대해 step 3 의 quadratic minimization 풀고, 최소값을 가진 부분집합을 benchmark 으로 선택. 한 부분집합 안에서는 standard quadratic LP 로 해결 가능 — exponential 한 enumeration 외부, polynomial 한 LP 내부 의 구조.

## 연구 계보

본 paper 의 *DEA benchmarking* lineage 는 Charnes-Cooper-Rhodes (1978 *European Journal of Operational Research*) 의 CCR 표준 + Banker-Charnes-Cooper (1984 *Management Science*) 의 BCC variable returns to scale + Charnes-Cooper-Lewin-Seiford (1994 *Data Envelopment Analysis*) 책의 종합 위에 위치. *Slack-max* 라인은 Cooper-Park-Pastor (1999 *Journal of Productivity Analysis*) 의 RAM, Färe-Lovell (1978 *Journal of Economic Theory*) 의 Russell, Tone (2001 *European Journal of Operational Research*) 의 slacks-based measure (SBM).

*Closest target* lineage 는 본 paper 의 가장 가까운 predecessor — Bogetoft-Hougaard (1999 *Journal of Productivity Analysis*) 의 *closest target*, Coelli (1998 *Eur. J. Oper. Res.*) 의 *multi-stage DEA* — sum of slacks 최소화, González-Álvarez (2001 *Eur. J. Oper. Res.*) 의 *shortest path*, Frei-Harker (1999 *Eur. J. Oper. Res.*) 의 *least-norm projection* — 본 paper 가 직접 한계 지적, Portela-Borges-Thanassoulis (2003 *Eur. J. Oper. Res.*) 의 *Pareto-efficient facet*. 본 paper 는 이 lineage 중 (i) Bogetoft, González 의 *closest target* 가설을 (ii) Frei-Harker 의 *양 dimension 동시* + (iii) Cooper et al 의 GEM properties 5 가지의 통합 — *모든 desiderata 동시 만족* 의 first 모형.

*Learning 의 similarity* lineage 는 Sapienza-Parhankangas-Autio (2004 *Strategic Management Journal*) 의 *knowledge base overlap regulates learning*, Yi-Liang-Wu (2002) 의 Euclidean distance similarity, Lane-Lubatkin (1998 *Strategic Management Journal*) 의 *teacher-student firm* 의 lineage. 본 paper 의 *attainable benchmark = closest similar firm* 시각의 SMJ-rooted 정당성.

TEMEP 내 sibling: (i) [[ej-jeon-2009-asset-composition-strategy]] — 같은 batch 의 VC firm DEA efficiency 분석으로 본 paper 의 LDM 방법론 활용 가능. (ii) [[inha-oh-2008-time-trend-general-index]] · [[inha-oh-2010-dea-product-efficiency]] · [[inha-oh-2009-credit-guarantee-selection-bias]] 의 [[temep]] DEA · TFP 라인의 method anchor. (iii) [[jeongdonglee-1998-malmquist-decomposition]] — Malmquist-Solow productivity 분해 framework 의 lineage origin. 본 paper 는 TEMEP 의 *operations research methodology* 라인 contribution — 한국 firm 실증에 응용하기 위한 새 측도 정립.

## See also

- [[data-envelopment-analysis]]
- [[least-distance-measure]]
- [[slack-minimization]]
- [[pareto-efficient-set]]
- [[strongly-efficient-set]]
- [[efficiency-measure-properties]]
- [[dea-benchmarking]]
- [[ej-jeon-2009-asset-composition-strategy]]
- [[inha-oh-2008-time-trend-general-index]]
- [[chulwoo-baek]]
- [[jeongdonglee]]