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type: paper
slug: dong-hyun-oh-2010-efficiency-change-technical-change
title: A metafrontier approach for measuring Malmquist productivity index
authors:
  - '[[dong-hyun-oh]]'
  - '[[jeongdonglee]]'
year: 2010
venue: '[[empirical-economics]]'
volume: '38'
pages: 47-64
doi: 10.1007/s00181-009-0255-0
categories:
  - '[[productivity-analysis]]'
  - '[[decision-methods]]'
methods:
  - '[[malmquist-productivity-index]]'
  - '[[metafrontier]]'
  - '[[data-envelopment-analysis]]'
  - '[[output-distance-function]]'
  - '[[linear-programming]]'
themes:
  - '[[productivity-decomposition]]'
  - '[[efficiency-change]]'
  - '[[technical-change]]'
  - '[[technology-leadership]]'
  - '[[cross-country-productivity-analysis]]'
  - '[[penn-world-table]]'
aliases: []
last_updated: '2026-05-20T02:18:39+09:00'
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# A metafrontier approach for measuring Malmquist productivity index

*[[dong-hyun-oh]], [[jeongdonglee]] (2010)* · [[empirical-economics]] 38(1):47–64 · [DOI ↗](https://doi.org/10.1007/s00181-009-0255-0)

> [[malmquist-productivity-index]] 의 *기존 decomposition* 가 *같은 technology* 위 firm 비교에만 적용 가능한 한계 — *다른 technology group* (e.g. Asia vs Europe 의 different production possibility set) 의 productivity 비교 불가 — 를 해결하기 위해 Hayami-Ruttan (1970, 1971) 의 *metaproduction function* 개념을 non-parametric DEA framework 에 도입. 새 *metafrontier Malmquist productivity index* 가 EC (efficiency change, catching-up) × BPC (best practice change, innovation) × **TGC (technology gap change, technical leadership change)** 의 3 단계 decomposition 으로 *그룹 간 technology gap* 측정 가능. Penn World Table 의 58 국가 × 31 년 (1970–2000) 적용해 *Asia 국가는 frontier 추격, Europe 이 world frontier 선도* 의 정량 결과. Battese-Rao (2002) 의 stochastic frontier 라인의 metafrontier 를 non-parametric (DEA) lineage 로 확장한 첫 paper.

- **RQ**: 다른 production technology group (예: 개도국·선진국, Asia·Europe·Americas) 의 productivity 변화를 어떻게 비교하며, *group 간 technology gap* 의 시간적 변화는 어떻게 측정하는가?
- **방법론**: [[metafrontier]] + [[malmquist-productivity-index]] + DEA. 3 benchmark technology — *contemporaneous* $\mathbf{P}_{R_j}^t$ + *intertemporal* $\mathbf{P}_{R_j}^I$ + *global* $\mathbf{P}^G$ — 사이의 [[output-distance-function]] 차이 측정. Pastor-Lovell (2005) 의 *Malmquist productivity index decomposition* 위에 *technology leadership* 차원 추가
- **데이터**: Penn World Table 의 58 국가 × 31 년 (1970–2000) panel — Africa · Asia · Americas · Europe 4 그룹 분류. Output = real GDP per worker, Input = capital stock + labor (RGDPW · KW · L)
- **주요 발견**: Metafrontier Malmquist productivity index $M^G$ = EC × BPC × TGC 의 3-component decomposition. Empirical 결과: (i) Asia 그룹의 *TGR (technology gap ratio) 상승* — *catching-up*, (ii) Europe 그룹의 *TGR ≈ 1 일관 유지* — *world frontier leadership*, (iii) Africa 그룹의 *TGR 정체 또는 하락* — *divergence*. (iv) Asia 의 EC (efficiency change) 와 TGC (technology leadership change) 가 모두 양 — *innovation + catching-up* 동시 진행
- **시사점**: (i) *방법론적* — 다른 technology 그룹 의 productivity 비교가 가능해진 metafrontier framework 의 non-parametric (DEA) 확장. (ii) *Asia 의 successful catching-up* 의 정량 evidence — innovation effect + catching-up effect + technology leadership change 의 동시 양. (iii) *Africa 의 정체* 가 EC · BPC · TGC 어느 항목에서 발생하는지 분리 진단 — 정책 leverage 식별 가능

![Fig. 1. Metafrontier Malmquist productivity index 의 conceptual framework: 3 benchmark technology — contemporaneous (각 시점 별), intertemporal (각 group 의 시계열 envelope), global (모든 그룹 envelope) — 의 nested 관계. Group 1, 2, 3 의 *각자 intertemporal frontier* 가 *global frontier* 의 한 부분 형성. *Technology gap ratio* (TGR) 가 *intertemporal frontier / global frontier* 의 거리 — group 의 *frontier 선도* 정도 측정.](/papers/201002_OhDh_A_metafrontier_approach_for_measuring_Malmquist_productivity_index/fig1.png)

## 요약

[[malmquist-productivity-index]] (Caves-Christensen-Diewert 1982) 는 *productivity 성장률* 의 표준 측정 도구 — (i) DEA 형 비모수 적용 가능 (Färe-Grosskopf-Norris-Zhang 1994), (ii) cost · revenue share 데이터 불필요, (iii) 효율 변화 + 기술 진보로 decompose 가능 의 3 장점. 그러나 *기존 framework 의 한계* — *같은 technology group* 의 firm 만 비교 가능. 다른 technology group (예: developed vs developing country, Asia vs Europe) 의 productivity 비교는 *production possibility set 자체* 가 다르므로 direct 비교 불가능.

본 paper 의 contribution: Hayami (1969), Hayami-Ruttan (1970, 1971) 의 *metaproduction function* 개념 — *neoclassical production function 들의 envelope* — 을 [[malmquist-productivity-index]] framework 에 통합. Battese-Rao (2002) 와 Battese-Prasada Rao-O'Donnell (2004) 가 *stochastic frontier analysis* (parametric) 에 metafrontier 를 통합한 lineage 위에, 본 paper 가 *DEA (non-parametric)* 에 metafrontier 를 첫 적용.

**3 benchmark technology** definition:
1. **Contemporaneous** $\mathbf{P}_{R_j}^t$: 시점 $t$, group $R_j$ 의 production set (한 시점 + 한 group 의 관측만).
2. **Intertemporal** $\mathbf{P}_{R_j}^I = \mathrm{conv}\{\mathbf{P}_{R_j}^1 \cup \cdots \cup \mathbf{P}_{R_j}^T\}$: group $R_j$ 의 전체 시계열 envelope.
3. **Global** $\mathbf{P}^G = \mathrm{conv}\{\mathbf{P}_{R_1}^I \cup \cdots \cup \mathbf{P}_{R_J}^I\}$: 모든 group 의 intertemporal envelope — *세계 frontier*.

**Metafrontier Malmquist productivity index** (Eq. 5):

$$
M^G(x^t, y^t, x^{t+1}, y^{t+1}) = \frac{D^G(x^{t+1}, y^{t+1})}{D^G(x^t, y^t)} = EC \times BPC \times TGC
$$

세 component 의 해석:
- **EC (Efficiency Change)** = $TE^{t+1}/TE^t$ — group 내부의 *catching-up effect* (frontier 와의 거리 변화)
- **BPC (Best Practice Change)** = $BPG^{I,t+1}/BPG^{I,t}$ — group 내부의 *innovation effect* (contemporaneous → intertemporal frontier 의 거리 변화)
- **TGC (Technology Gap Change)** = $TGR^{t+1}/TGR^t$ — *technology leadership change*. $TGR^s = D^I(x^s, y^s/D^I)/D^G(x^s, y^s/D^I)$ — group $R_j$ 의 intertemporal frontier 가 global frontier 와 얼마나 가까운지.

$TGR = 1$ 이면 group 이 *global frontier 위* — *world technology leader*. $TGR < 1$ 이면 그 만큼 frontier 와 거리. *TGC > 1* 이면 group 이 frontier 로 *접근*, *TGC < 1* 이면 *후퇴*.

**Linear programming 추정**: 6 개의 LP 를 풀어 distance functions 계산:
- $D^t(x^t, y^t)$ — contemporaneous in $t$
- $D^{t+1}(x^{t+1}, y^{t+1})$ — contemporaneous in $t+1$
- $D^I(x^t, y^t / D^t(x^t, y^t))$ — intertemporal projection from $t$
- $D^I(x^{t+1}, y^{t+1} / D^{t+1}(x^{t+1}, y^{t+1}))$ — intertemporal projection from $t+1$
- $D^G(x^t, y^t / D^I(x^t, y^t))$ — global projection from intertemporal $t$
- $D^G(x^{t+1}, y^{t+1} / D^I(x^{t+1}, y^{t+1}))$ — global projection from intertemporal $t+1$

각 LP 는 $\max \phi$ s.t. $\sum \lambda^k y^{k,s}_m \ge \phi y^{k',s}_m$, $\sum \lambda^k x^{k,s}_n \le x^{k',s}_n$, $z^{k,s} \ge 0$ — output-oriented Farrell efficiency 의 reciprocal.

**실증**: Penn World Table 58 국가 × 31 년 (1970–2000), 4 group (Africa · Asia · Americas · Europe). Output = real GDP per worker, Inputs = capital stock + labor.

핵심 결과:
- **Asia 의 catching-up + innovation**: EC > 1 + BPC > 1 + TGC > 1 (frontier 로 접근). Korea, Taiwan, Singapore 등 NIE 의 TGR 이 시간에 따라 1 에 근접.
- **Europe 의 leadership**: TGR ≈ 1 일관 유지 (TGC ≈ 1), BPC > 1 (innovation 지속). *world frontier* 의 정의자.
- **Africa 의 stagnation**: TGR 낮게 정체 또는 하락. EC · BPC 둘 다 약함.
- **Americas (US + Canada)**: Europe 과 유사하게 frontier 근처 유지, 일부 시기 leadership 교체.

한계: (i) Penn World Table 의 *capital stock 측정* 의 perpetual inventory 가정 robustness, (ii) DEA 의 *deterministic frontier* 가 measurement error 흡수 못함, (iii) cross-country *human capital* (Hall-Jones 1999 의 표준) 미포함.

## 핵심 결과

**3 Benchmark technology의 nested 관계**

| Type | 정의 | 해석 |
|---|---|---|
| Contemporaneous $\mathbf{P}_{R_j}^t$ | 시점 $t$, group $R_j$ 의 관측 | 한 시점 + 한 group 의 frontier |
| Intertemporal $\mathbf{P}_{R_j}^I$ | conv($\bigcup_t \mathbf{P}_{R_j}^t$) | group $R_j$ 의 전체 시계열 envelope |
| Global $\mathbf{P}^G$ | conv($\bigcup_j \mathbf{P}_{R_j}^I$) | 모든 group 의 envelope = *world frontier* |

**Metafrontier Malmquist 의 3-component decomposition (Eq. 5)**

| Component | 정의 | 해석 |
|---|---|---|
| **EC** (Efficiency Change) | $TE^{t+1}/TE^t$ | Group 내부의 *catching-up* |
| **BPC** (Best Practice Change) | $BPG^{I,t+1}/BPG^{I,t}$ | Group 내부의 *innovation* |
| **TGC** (Technology Gap Change) | $TGR^{t+1}/TGR^t$ | Group 의 *frontier leadership* 변화 |

**Empirical 결과 (Penn World Table 1970–2000, 4 region 그룹)**

| Region | EC | BPC | TGC | 해석 |
|---|---|---|---|---|
| **Asia** | > 1 | > 1 | **> 1** | catching-up + innovation + frontier 접근 |
| **Europe** | ≈ 1 | > 1 | **≈ 1** | leadership 유지 + innovation 지속 |
| Americas | ≈ 1 | > 1 (US) | ≈ 1 | leadership 부분 유지 |
| **Africa** | ≤ 1 | ≤ 1 | **≤ 1** | stagnation + divergence |

→ Asia 의 *triple positive* — 가장 successful catching-up. Africa 의 *triple negative* — 정체.

## 방법론 노트

[[malmquist-productivity-index]] (Caves-Christensen-Diewert 1982; Färe-Grosskopf-Norris-Zhang 1994) 의 표준 form:

$$
M^s(x^t, y^t, x^{t+1}, y^{t+1}) = \frac{D^s(x^{t+1}, y^{t+1})}{D^s(x^t, y^t)}
$$

$D^s$ = output distance function in benchmark $s$.

Intertemporal Malmquist (Pastor-Lovell 2005 의 *global Malmquist*):

$$
M^I = EC \times BPC = \frac{TE^{t+1}}{TE^t} \times \frac{BPG^{I,t+1}}{BPG^{I,t}}
$$

본 paper 의 *Metafrontier Malmquist* (Eq. 5):

$$
M^G = EC \times BPC \times TGC
$$

$TGC = TGR^{t+1}/TGR^t$, $TGR^s = D^I(\cdot)/D^G(\cdot)$ — group 의 intertemporal frontier 의 global frontier 대비 거리.

[[output-distance-function]] 의 LP 형태:

$$
[D^s(x^{k',s}, y^{k',s})]^{-1} = \max \phi^{k',s}, \quad \text{s.t.} \sum_k \lambda^k y_m^{k,s} \ge \phi y_m^{k',s}, \sum_k \lambda^k x_n^{k,s} \le x_n^{k',s}, \lambda \ge 0
$$

총 6 LP 풀어야 각 producer 의 한 시기 pair (t, t+1) Malmquist index 분해.

식별은 (i) 58 국가 × 31 년 panel variation, (ii) 4 region 그룹 의 cross-section, (iii) DEA 의 *deterministic frontier* 의 LP-based shadow price 추정에서 온다.

## 연구 계보

본 paper 의 *Malmquist productivity index* lineage: Caves-Christensen-Diewert (1982 *Econometrica*) 의 이론 + Färe-Grosskopf-Norris-Zhang (1994 *AER*) 의 DEA-based 적용 + Pastor-Lovell (2005 *Economics Letters*) 의 *global Malmquist index* 위에 위치. *Metaproduction function* lineage: Hayami (1969 *Journal of Political Economy*), Hayami-Ruttan (1970/1971) 의 origin, Ruttan-Binswanger-Hayami-Wade-Weber (1978) 의 *envelopment of most efficient producers*. *Metafrontier 의 frontier analysis 응용*: Battese-Rao (2002 *International Journal of Business and Economics*) — stochastic frontier 의 metafrontier, Battese-Rao-O'Donnell (2004 *Journal of Productivity Analysis*) — Indonesian garments. 본 paper 의 contribution 은 *non-parametric DEA 의 첫 metafrontier 적용*.

*Cross-country productivity* lineage: Hall-Jones (1999 *Quarterly Journal of Economics*) — *Why do some countries produce so much more output per worker than others?*, Easterly-Levine (2001 *World Bank Economic Review*) — TFP and growth. Penn World Table (Heston-Summers 의 표준 데이터).

TEMEP 내 sibling: (i) [[inha-oh-2008-time-trend-general-index]] — 한국 제조업 TFP 의 firm-level 분석 (parametric TT/GI/non-parametric paired). (ii) [[inha-oh-2009-comparative-plant-dynamics]] — plant-level Griliches-Regev decomposition. (iii) [[inha-oh-2010-dea-product-efficiency]] — 같은 batch 의 *consumer-side product efficiency* DEA 분석. (iv) [[chulwoo-baek-2009-data-envelopment-analysis-benchmarking]] — DEA 방법론 paper. (v) [[ej-jeon-2009-asset-composition-strategy]] — VC firm DEA. (vi) [[jeongdonglee-1998-malmquist-decomposition]] — TEMEP Malmquist 라인의 origin paper. 본 paper 는 [[temep]] 의 *productivity 측정 방법론 lineage* 의 cross-country 확장 — Asia 의 catching-up 의 *정량 framework* 제공.

## See also

- [[malmquist-productivity-index]]
- [[metafrontier]]
- [[data-envelopment-analysis]]
- [[output-distance-function]]
- [[linear-programming]]
- [[productivity-decomposition]]
- [[efficiency-change]]
- [[technical-change]]
- [[technology-leadership]]
- [[cross-country-productivity-analysis]]
- [[penn-world-table]]
- [[jeongdonglee-1998-malmquist-decomposition]]
- [[inha-oh-2008-time-trend-general-index]]
- [[inha-oh-2009-comparative-plant-dynamics]]
- [[dong-hyun-oh]]
- [[jeongdonglee]]