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  - '[[productivity-analysis]]'
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  - MPI
  - Malmquist index
  - Malmquist 지수
last_updated: '2026-05-19T23:30:00+09:00'
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# Malmquist 생산성 지수

*Malmquist Productivity Index*

> 두 시점 사이 한 의사결정단위 (DMU) 의 총요소생산성 변화를 거리함수 (distance function) 의 비율로 측정하는 지수. 가격 정보 없이 양적 투입·산출만으로 계산 가능하며, 효율성 변화 (efficiency change, frontier 와의 거리 변화) 와 기술 변화 (technical change, frontier 자체의 이동) 로 분해된다. [[data-envelopment-analysis]] 와 결합하면 비모수 거리함수 추정으로 패널 데이터에서 생산성 동학을 추적할 수 있어, 산업·국가 비교 생산성 연구의 standard 도구가 됐다.

- **유형**: 비모수, 인덱스, 거리함수 기반
- **핵심 가정**: 볼록성 (DEA frontier), free disposability, 거리함수의 일관된 정의 (input/output 지향)
- **주요 변형**: Malmquist-Luenberger (비바람직 산출 포함), sequential Malmquist, global Malmquist, metafrontier Malmquist

## 개요

Malmquist (1953) 의 *Index numbers and indifference surfaces* 가 거리함수 개념을 무차별곡선의 거리 비율로 도입한 출발점이다. Caves, Christensen, Diewert (1982) 가 *Econometrica* 에서 이를 생산성 지수로 정식화하면서 Malmquist productivity index 라는 명명이 자리잡았다. Färe, Grosskopf, Norris, Zhang (1994) 의 *American Economic Review* 논문이 [[data-envelopment-analysis]] 기반 비모수 거리함수 추정으로 Malmquist 지수를 계산 가능하게 만들면서 응용이 폭발했고, 효율성 변화와 기술 변화의 분해 공식도 같은 논문에서 확립됐다. 이후 Chung-Färe-Grosskopf (1997) 의 directional distance function 기반 Malmquist-Luenberger 가 비바람직 산출 (오염물) 까지 다루고, Pastor-Lovell (2005) 의 global Malmquist, Oh-Heshmati (2010) 의 sequential global Malmquist 가 패널 불균형·기술 진보의 progressive 성질을 반영하면서 변형이 누적됐다.

## 핵심 식·정의

투입 지향 Malmquist 지수는 두 시점 $t, t+1$ 의 거리함수 $D^t$ 와 $D^{t+1}$ 의 기하평균으로 정의된다.

$$
M_0(x^{t+1}, y^{t+1}, x^t, y^t) = \left[ \frac{D_0^t(x^{t+1}, y^{t+1})}{D_0^t(x^t, y^t)} \cdot \frac{D_0^{t+1}(x^{t+1}, y^{t+1})}{D_0^{t+1}(x^t, y^t)} \right]^{1/2}
$$

여기서 $D_0^t(x, y)$ 는 $t$ 시점 기술을 기준으로 한 출력 지향 거리함수다. Färe et al. (1994) 의 분해는 이 지수를 efficiency change 와 technical change 의 곱으로 분리한다.

$$
M_0 = \underbrace{\frac{D_0^{t+1}(x^{t+1}, y^{t+1})}{D_0^t(x^t, y^t)}}_{\text{efficiency change}} \cdot \underbrace{\left[ \frac{D_0^t(x^{t+1}, y^{t+1})}{D_0^{t+1}(x^{t+1}, y^{t+1})} \cdot \frac{D_0^t(x^t, y^t)}{D_0^{t+1}(x^t, y^t)} \right]^{1/2}}_{\text{technical change}}
$$

$M > 1$ 은 생산성 향상, $M < 1$ 은 후퇴를 의미한다. 각 거리함수는 [[data-envelopment-analysis]] 의 선형계획문제로 계산되므로 함수형이나 가격 정보가 필요 없다.

## TEMEP 라인

[[jeongdonglee]] 의 [[jeongdonglee-1998-malmquist-decomposition]] 이 *Technological Progress versus Efficiency Gain in Manufacturing Sectors* 로 한국 제조업 생산성을 효율성 변화와 기술 변화로 분해한 첫 본격 적용이고, 이정동 라인의 quantitative anchor 다. APPC 특집호 [[jeongdonglee-2007-asia-pacific-manufacturing]] 와 [[jeongdonglee-2009-appc-intro]] 가 아시아-태평양 제조업 비교 생산성 분석의 anchor 로 자리잡았고, [[won-sik-hwang-2013-profitability-productivity-changes]] 가 수익성과 생산성 변화의 동시 분해로 확장한다.

방법론 격상의 핵심 논문은 [[dong-hyun-oh-2010-efficiency-change-technical-change]] 의 metafrontier Malmquist (이질적 기술군 간 frontier gap 추적) 와 [[yoonhwan-oh-2017-sequential-global-malmquist]] 의 sequential global Malmquist (불균형 패널과 progressive 기술 진보 반영) 다. [[almas-heshmati]] 는 Korea-Japan 정책연구원 시절부터 [[jeongdonglee]] 와의 공저 라인을 통해 Malmquist 지수의 한국 manufacturing 응용을 형성했다. [[stochastic-frontier-analysis]] 기반 parametric Malmquist 도 같은 라인에서 활용되지만, TEMEP 의 주력은 [[data-envelopment-analysis]] 기반 비모수 추정이다.

## See also

- 관련 method: [[data-envelopment-analysis]], [[stochastic-frontier-analysis]], [[directional-distance-function]], [[total-factor-productivity]]
- 관련 concept: [[productivity-frontier]], [[technical-efficiency]], [[technological-progress]]
- 핵심 paper: [[jeongdonglee-1998-malmquist-decomposition]], [[dong-hyun-oh-2010-efficiency-change-technical-change]], [[yoonhwan-oh-2017-sequential-global-malmquist]], [[jeongdonglee-2007-asia-pacific-manufacturing]], [[won-sik-hwang-2013-profitability-productivity-changes]]