A product acceptance decision-making method based on process capability with considering gauge measurement errors

Dwi Yuli Rakhmawati, 이정혜 (2023) · communications-in-statistics-theory-and-methods · DOI ↗

제조 quality assurance 의 acceptance sampling plan 을 C_pk process capability index + gauge measurement error (GME) 통합 형태로 확장. 4가지 $(C_{AQL}, C_{LPTD})$ 조합 × 5×5 $(\alpha, \beta)$ × 7가지 GME $\lambda$ (0.00~0.30) 의 nonlinear equation 시스템을 fsolve (MATLAB) 로 풀어 sample size $n$ + critical acceptance value $c_0$ 의 복합 표 를 생성. CMOS bilateral switch 사례에서 $\lambda$ 무시 시 $\hat{C}_{pk}^Y = 1.613 < c_0 = 1.1669$ → 거부 결정이지만, $\lambda=0.10$ 가정 시 $c_0 = 1.1511 <$ 1.613 → 수용 — 동일 데이터에 대한 결정 반전. GME 무시는 systematic underestimation 으로 producer 손실 (좋은 lot 거부) 발생.

• RQ: 측정 도구의 gauge measurement error (GME, $\lambda$) 가 acceptance sampling plan 의 sample size n + critical acceptance value c_0 에 어떻게 영향을 미치는가? $C_{pk}$ 만 사용하고 GME 무시할 때 어떤 systematic bias 가 발생하는가?
• 방법론: process-capability-index $C_{pk}$ + acceptance-sampling-plan (Pearn-Wu 2013 의 CDF 형태) + gauge-r-and-r $\lambda = 6\sigma_G/(USL - LSL) \times 100\%$ (Montgomery-Runger 1993) + nonlinear-equation-solver (MATLAB fsolve)
• 데이터: 시뮬레이션 (4 benchmark $(C_{AQL}, C_{LPTD}) \in \{(1.33, 1.00), (1.50, 1.33), (1.67, 1.33), (2.00, 1.67)\}$ × 5×5 $(\alpha, \beta) \in \{0.01, 0.025, 0.05, 0.075, 0.10\}$ × 7 $\lambda \in \{0.00, 0.05, ..., 0.30\}$) + CMOS bilateral switch 사례 ($\bar{y}=5.091, s_Y=0.1174$)
• 주요 발견: (1) $C_{AQL}=1.33, C_{LPTD}=1.00, \alpha=0.025, \beta=0.01$ 에서 $\lambda$ 변화 시 $n$/$c_0$: $\lambda=0.00 \to (136, 1.1790)$, $\lambda=0.10 \to (137, 1.1630)$, $\lambda=0.20 \to (138, 1.1188)$, $\lambda=0.30 \to (141, 1.0550)$. (2) $\lambda$ 증가 시 $n$ 증가 + $c_0$ 감소 — GME 클수록 더 많은 sample + 더 낮은 acceptance threshold 필요. (3) CMOS case study: 동일 데이터 ($\hat{C}_{pk}^Y = 1.613$) 가 $\lambda=0$ 시 reject, $\lambda=0.05, 0.10, 0.15, 0.20$ 모두 accept. (4) PPM (defects per million) at $C_{pk}=1.33$: $\lambda=0.00 \to 33$ lower bound, $\lambda=0.30 \to 177$ — 5배 증가
• 시사점: 제조업 quality control 에 measurement uncertainty 의 명시적 통합. 의료 기기, 반도체 (CMOS bilateral switch 예시) 등 high-precision 분야에 직접 적용. GME 무시는 producer’s risk 의 systematic underestimation 으로 good lot rejection 의 economic loss

요약

제조 quality assurance 의 표준 도구인 acceptance sampling plan 은 (1) AQL (acceptable quality level), (2) LPTD (lot tolerance percent defectives), (3) producer’s risk $\alpha$, (4) consumer’s risk $\beta$ 의 4 parameter 로 sample size n + critical acceptance value c_0 를 결정해 lot 단위 수용/거부를 판단한다. 기존 문헌 (Pearn-Wu 2007 Omega, Liu-Wu 2016 IJPR, Aslam-Azam-Jun 2013 AMM, Aslam-Balamurali-Jun 2021 Comm Stat Sim Comp) 은 $C_p$, $C_{pk}$, $S_{pk}$, $L_e$ 등 다양한 process-capability-index (PCI) 기반 acceptance sampling plan 을 개발했으나 gauge measurement error (GME) 를 무시했다. Houf-Berman (1988) IEEE Trans Comp 의 thermal impedance evaluator 실험은 동일 operator 의 반복 측정 도 차이를 보였고, Pearn-Liao (2005) Microelectronics Reliability 는 GME 무시 시 power test 가 imperceptible 임을 입증. 본 paper 의 motivation 은 Pearn-Wu 2013 의 $C_{pk}$ acceptance sampling plan 을 GME 보정 형태로 확장 + 4 benchmark × 5×5 $(\alpha, \beta)$ × 7 $\lambda$ 의 reference table 제공.

Dwi Yuli Rakhmawati 와 이정혜 는 Pearn-Wu (2013) Qual Reliab Eng Int 의 closed-form CDF $F_{\hat{C}_{pk}}(x, b, \xi)$ 를 GME-contaminated form $F_{\hat{C}_{pk}^Y}(x, b^Y, \xi^Y)$ 로 변환하고, $b^Y = 3C_p^Y$, $\xi^Y = 3(C_p^Y - C_{pk}^Y)$, $C_{pk}^Y / C_{pk} = 1/\sqrt{1 + \lambda^2 C_p^2}$ 의 contamination relationship 을 명시. Acceptance probability 식의 nonlinear simultaneous equation 을 MATLAB fsolve 로 풀어 4 benchmark $(C_{AQL}, C_{LPTD})$ × 5×5 $(\alpha, \beta)$ × 7 $\lambda$ 의 $(n, c_0)$ table 을 생성. 결과의 핵심 패턴은 (i) $\lambda$ 증가 시 $n$ 증가 + $c_0$ 감소, (ii) $(C_{AQL}, C_{LPTD})$ 가 더 demanding 할수록 $n$ 폭증 (1.50/1.33 case 에서 $n=775$, 2.00/1.67 case 도 큼), (iii) PPM nonconforming units 가 $\lambda$ 증가에 따라 systematic 증가 — 예: $C_{pk}=1.33, \lambda=0.00 \to 33$ ppm lower bound, $\lambda=0.30 \to 177$ ppm (5배).

CMOS bilateral switch 사례가 실용적 함의의 핵심: 동일 sample ($n=80$, $\bar{y}=5.091$, $s_Y=0.1174 \to \hat{C}_{pk}^Y = 1.613$) 이 $\alpha=\beta=0.05$, $C_{AQL}=1.33$, $C_{LPTD}=1.00$ benchmark 에서 $\lambda$ 가정에 따라 결정이 반전된다 — $\lambda=0.00 \to c_0=1.1669 >$ 1.613 → reject, $\lambda=0.05 \to c_0=1.1629 < 1.613$ → accept, $\lambda=0.10 \to c_0=1.1511$ → accept, $\lambda=0.15 \to c_0=1.1322$ → accept, $\lambda=0.20 \to c_0=1.1072$ → accept. 즉 gauge R&R study 미수행 시 producer 가 경제적 손실 (좋은 lot 거부). 이 paper 는 이정혜 의 제1기 (2014-2018) Industrial Engineering 본업 의 후기 작업 — author page 의 quality engineering 본업 라인. 한계: (i) Normal distribution 가정만, (ii) Symmetric tolerance 가정 (Rakhmawati 자신의 2016 자매작들이 asymmetric tolerance 다룸), (iii) $\xi=1$ assumption (Pearn-Liao 2005 의 reliable lower bound), (iv) Single gauge — multi-gauge environment 미고려.

핵심 결과

$\lambda$	$n$	$c_0$	(변화)
0.00	136	1.1790	baseline
0.05	136	1.1750	$c_0$ 감소
0.10	137	1.1630	$n$ +1, $c_0$ -0.016
0.15	137	1.1440
0.20	138	1.1188
0.25	140	1.0887
0.30	141	1.0550	$n$ +5, $c_0$ -0.124

Benchmark: $C_{AQL}=1.33$, $C_{LPTD}=1.00$, $\alpha=0.025$, $\beta=0.01$.

CMOS bilateral switch case study ($\hat{C}_{pk}^Y = 1.613$ for $n=80$)	$\lambda=0.00$	$\lambda=0.05$	$\lambda=0.10$	$\lambda=0.15$	$\lambda=0.20$
$c_0$	1.1669	1.1629	1.1511	1.1322	1.1072
결정	Reject	Accept	Accept	Accept	Accept

PPM 비교 (lower bound, $C_{pk}=1.33$): $\lambda=0.00 \to 33$, $\lambda=0.10 \to 41$, $\lambda=0.20 \to 76$, $\lambda=0.30 \to 177$ — 5배 증가.

정량 결론: GME 무시는 $c_0$ overestimation (1.1669 vs 1.1188 at $\lambda=0.20$) + $n$ underestimation 으로 producer 경제 손실 + consumer protection 약화의 dual bias.

방법론 노트

$C_{pk}$ 의 정의와 GME contamination 관계:

$$C_{pk} = \frac{d - |\mu - M|}{3\sigma}, \quad C_{pk}^Y = \frac{d - |\mu_Y - M|}{3\sigma_Y}, \quad \sigma_Y^2 = \sigma^2 + \sigma_G^2$$

여기서 $d = (USL - LSL)/2$, $M = (USL + LSL)/2$, $Y = X + G$ (관측 = 진실 + 측정오차). Gauge capability:

$$\lambda = \frac{6\sigma_G}{USL - LSL} \times 100\%$$

Contamination ratio (Pearn-Liao 2005):

$$\frac{C_{pk}^Y}{C_{pk}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \lambda^2 C_p^2}}$$

Acceptance sampling plan 의 nonlinear simultaneous equations (Pearn-Wu 2013 + GME 보정):

$$1 - \alpha \leq 1 - F_{\hat{C}_{pk}^Y}(c_0, b_1^Y, \xi^Y)$$ $$\beta \geq 1 - F_{\hat{C}_{pk}^Y}(c_0, b_2^Y, \xi^Y)$$

여기서 $b_1^Y = 3(C_{AQL}/\sqrt{1 + \lambda^2 C_p^2}) + |\xi^Y|$, $b_2^Y = 3(C_{LPTD}/\sqrt{1 + \lambda^2 C_p^2}) + |\xi^Y|$. 두 식의 contour intersection at level 0 이 $(n, c_0)$ — MATLAB fsolve 로 수치 해. Identification 가정: (i) $Y \sim N(\mu, \sigma^2 + \sigma_G^2)$ (정규성), (ii) $X \perp G$ (process 와 gauge 독립), (iii) $\xi = 1$ (Pearn-Liao 2005 의 conservative bound), (iv) statistical control 하의 안정 process. 한계: asymmetric tolerance, one-sided tolerance 는 Rakhmawati 의 다른 paper 들에서 별도 분석.

연구 계보

이정혜 의 제1기 (2014-2018) Industrial Engineering 본업 라인 의 후기 (post-2018) 응용 다변화 진입 직전 작업. Dwi Yuli Rakhmawati 자신의 시리즈 (Rakhmawati-Yang-Wu 2016 Comm Stat-Theory Methods, Rakhmawati-Wu-Yang 2016 Comm Stat-Sim Comp, Rakhmawati-Kim-Sumiati 2020 Comm Stat-Theory Methods) 의 symmetric tolerance 확장 — asymmetric / one-sided tolerance 는 자매 paper. 이론적 뿌리는 (1) Kane (1986) JQT 의 $C_p, C_{pk}$ 정의, (2) Boyles (1991) JQT 의 yield bounds, (3) Pearn-Wu (2007) Omega 의 $C_{pk}$ acceptance sampling, (4) Pearn-Wu (2013) Qual Reliab Eng Int 의 closed-form CDF, (5) Pearn-Liao (2005) Microelectronics Reliability 의 GME contamination 정량화, (6) Montgomery-Runger (1993) Qual Eng 의 gauge capability $\lambda$, (7) Houf-Berman (1988) IEEE Trans Comp 의 GME 실증 motivation. 동시기 sibling: Brik, Goddi, Dhahri & Fredj (2019) Int J Adv Manuf Tech 의 $C_{p0}^*$ GME assessment, Gildeh-Ganji (2019) Comm Stat 의 incapability index + GME.

See also

• 이정혜
• Dwi Yuli Rakhmawati
• process-capability-index
• acceptance-sampling-plan
• gauge-r-and-r
• quality-management
• quality-control
• communications-in-statistics-theory-and-methods

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