A metafrontier approach for measuring Malmquist productivity index

Dong-Hyun Oh, 이정동 (2010) · Empirical Economics 38(1):47–64 · DOI ↗

Malmquist 생산성 지수 의 기존 decomposition 가 같은 technology 위 firm 비교에만 적용 가능한 한계 — 다른 technology group (e.g. Asia vs Europe 의 different production possibility set) 의 productivity 비교 불가 — 를 해결하기 위해 Hayami-Ruttan (1970, 1971) 의 metaproduction function 개념을 non-parametric DEA framework 에 도입. 새 metafrontier Malmquist productivity index 가 EC (efficiency change, catching-up) × BPC (best practice change, innovation) × TGC (technology gap change, technical leadership change) 의 3 단계 decomposition 으로 그룹 간 technology gap 측정 가능. Penn World Table 의 58 국가 × 31 년 (1970–2000) 적용해 Asia 국가는 frontier 추격, Europe 이 world frontier 선도 의 정량 결과. Battese-Rao (2002) 의 stochastic frontier 라인의 metafrontier 를 non-parametric (DEA) lineage 로 확장한 첫 paper.

RQ: 다른 production technology group (예: 개도국·선진국, Asia·Europe·Americas) 의 productivity 변화를 어떻게 비교하며, group 간 technology gap 의 시간적 변화는 어떻게 측정하는가?
방법론: Metafrontier + Malmquist 생산성 지수 + DEA. 3 benchmark technology — contemporaneous $\mathbf{P}_{R_j}^t$ + intertemporal $\mathbf{P}_{R_j}^I$ + global $\mathbf{P}^G$ — 사이의 Output distance function 차이 측정. Pastor-Lovell (2005) 의 Malmquist productivity index decomposition 위에 technology leadership 차원 추가
데이터: Penn World Table 의 58 국가 × 31 년 (1970–2000) panel — Africa · Asia · Americas · Europe 4 그룹 분류. Output = real GDP per worker, Input = capital stock + labor (RGDPW · KW · L)
주요 발견: Metafrontier Malmquist productivity index $M^G$ = EC × BPC × TGC 의 3-component decomposition. Empirical 결과: (i) Asia 그룹의 TGR (technology gap ratio) 상승 — catching-up, (ii) Europe 그룹의 TGR ≈ 1 일관 유지 — world frontier leadership, (iii) Africa 그룹의 TGR 정체 또는 하락 — divergence. (iv) Asia 의 EC (efficiency change) 와 TGC (technology leadership change) 가 모두 양 — innovation + catching-up 동시 진행
시사점: (i) 방법론적 — 다른 technology 그룹 의 productivity 비교가 가능해진 metafrontier framework 의 non-parametric (DEA) 확장. (ii) Asia 의 successful catching-up 의 정량 evidence — innovation effect + catching-up effect + technology leadership change 의 동시 양. (iii) Africa 의 정체 가 EC · BPC · TGC 어느 항목에서 발생하는지 분리 진단 — 정책 leverage 식별 가능

Fig. 1. Metafrontier Malmquist productivity index 의 conceptual framework: 3 benchmark technology — contemporaneous (각 시점 별), intertemporal (각 group 의 시계열 envelope), global (모든 그룹 envelope) — 의 nested 관계. Group 1, 2, 3 의 각자 intertemporal frontier 가 global frontier 의 한 부분 형성. Technology gap ratio (TGR) 가 intertemporal frontier / global frontier 의 거리 — group 의 frontier 선도 정도 측정.

요약

Malmquist 생산성 지수 (Caves-Christensen-Diewert 1982) 는 productivity 성장률 의 표준 측정 도구 — (i) DEA 형 비모수 적용 가능 (Färe-Grosskopf-Norris-Zhang 1994), (ii) cost · revenue share 데이터 불필요, (iii) 효율 변화 + 기술 진보로 decompose 가능 의 3 장점. 그러나 기존 framework 의 한계 — 같은 technology group 의 firm 만 비교 가능. 다른 technology group (예: developed vs developing country, Asia vs Europe) 의 productivity 비교는 production possibility set 자체 가 다르므로 direct 비교 불가능.

본 paper 의 contribution: Hayami (1969), Hayami-Ruttan (1970, 1971) 의 metaproduction function 개념 — neoclassical production function 들의 envelope — 을 Malmquist 생산성 지수 framework 에 통합. Battese-Rao (2002) 와 Battese-Prasada Rao-O’Donnell (2004) 가 stochastic frontier analysis (parametric) 에 metafrontier 를 통합한 lineage 위에, 본 paper 가 DEA (non-parametric) 에 metafrontier 를 첫 적용.

3 benchmark technology definition:

Contemporaneous $\mathbf{P}_{R_j}^t$ : 시점 $t$ , group $R_j$ 의 production set (한 시점 + 한 group 의 관측만).
Intertemporal $\mathbf{P}_{R_j}^I = \mathrm{conv}\{\mathbf{P}_{R_j}^1 \cup \cdots \cup \mathbf{P}_{R_j}^T\}$ : group $R_j$ 의 전체 시계열 envelope.
Global $\mathbf{P}^G = \mathrm{conv}\{\mathbf{P}_{R_1}^I \cup \cdots \cup \mathbf{P}_{R_J}^I\}$ : 모든 group 의 intertemporal envelope — 세계 frontier.

Metafrontier Malmquist productivity index (Eq. 5):

M^G(x^t, y^t, x^{t+1}, y^{t+1}) = \frac{D^G(x^{t+1}, y^{t+1})}{D^G(x^t, y^t)} = EC \times BPC \times TGC

세 component 의 해석:

EC (Efficiency Change) = $TE^{t+1}/TE^t$ — group 내부의 catching-up effect (frontier 와의 거리 변화)
BPC (Best Practice Change) = $BPG^{I,t+1}/BPG^{I,t}$ — group 내부의 innovation effect (contemporaneous → intertemporal frontier 의 거리 변화)
TGC (Technology Gap Change) = $TGR^{t+1}/TGR^t$ — technology leadership change. $TGR^s = D^I(x^s, y^s/D^I)/D^G(x^s, y^s/D^I)$ — group $R_j$ 의 intertemporal frontier 가 global frontier 와 얼마나 가까운지.

$TGR = 1$ 이면 group 이 global frontier 위 — world technology leader. $TGR < 1$ 이면 그 만큼 frontier 와 거리. TGC > 1 이면 group 이 frontier 로 접근, TGC < 1 이면 후퇴.

Linear programming 추정: 6 개의 LP 를 풀어 distance functions 계산:

$D^t(x^t, y^t)$ — contemporaneous in $t$
$D^{t+1}(x^{t+1}, y^{t+1})$ — contemporaneous in $t+1$
$D^I(x^t, y^t / D^t(x^t, y^t))$ — intertemporal projection from $t$
$D^I(x^{t+1}, y^{t+1} / D^{t+1}(x^{t+1}, y^{t+1}))$ — intertemporal projection from $t+1$
$D^G(x^t, y^t / D^I(x^t, y^t))$ — global projection from intertemporal $t$
$D^G(x^{t+1}, y^{t+1} / D^I(x^{t+1}, y^{t+1}))$ — global projection from intertemporal $t+1$

각 LP 는 $\max \phi$ s.t. $\sum \lambda^k y^{k,s}_m \ge \phi y^{k',s}_m$ , $\sum \lambda^k x^{k,s}_n \le x^{k',s}_n$ , $z^{k,s} \ge 0$ — output-oriented Farrell efficiency 의 reciprocal.

실증: Penn World Table 58 국가 × 31 년 (1970–2000), 4 group (Africa · Asia · Americas · Europe). Output = real GDP per worker, Inputs = capital stock + labor.

핵심 결과:

Asia 의 catching-up + innovation: EC > 1 + BPC > 1 + TGC > 1 (frontier 로 접근). Korea, Taiwan, Singapore 등 NIE 의 TGR 이 시간에 따라 1 에 근접.
Europe 의 leadership: TGR ≈ 1 일관 유지 (TGC ≈ 1), BPC > 1 (innovation 지속). world frontier 의 정의자.
Africa 의 stagnation: TGR 낮게 정체 또는 하락. EC · BPC 둘 다 약함.
Americas (US + Canada): Europe 과 유사하게 frontier 근처 유지, 일부 시기 leadership 교체.

한계: (i) Penn World Table 의 capital stock 측정 의 perpetual inventory 가정 robustness, (ii) DEA 의 deterministic frontier 가 measurement error 흡수 못함, (iii) cross-country human capital (Hall-Jones 1999 의 표준) 미포함.

핵심 결과

3 Benchmark technology의 nested 관계

Type	정의	해석
Contemporaneous $\mathbf{P}_{R_j}^t$	시점 $t$ , group $R_j$ 의 관측	한 시점 + 한 group 의 frontier
Intertemporal $\mathbf{P}_{R_j}^I$	conv( $\bigcup_t \mathbf{P}_{R_j}^t$ )	group $R_j$ 의 전체 시계열 envelope
Global $\mathbf{P}^G$	conv( $\bigcup_j \mathbf{P}_{R_j}^I$ )	모든 group 의 envelope = world frontier

Metafrontier Malmquist 의 3-component decomposition (Eq. 5)

Component	정의	해석
EC (Efficiency Change)	$TE^{t+1}/TE^t$	Group 내부의 catching-up
BPC (Best Practice Change)	$BPG^{I,t+1}/BPG^{I,t}$	Group 내부의 innovation
TGC (Technology Gap Change)	$TGR^{t+1}/TGR^t$	Group 의 frontier leadership 변화

Empirical 결과 (Penn World Table 1970–2000, 4 region 그룹)

Region	EC	BPC	TGC	해석
Asia	> 1	> 1	> 1	catching-up + innovation + frontier 접근
Europe	≈ 1	> 1	≈ 1	leadership 유지 + innovation 지속
Americas	≈ 1	> 1 (US)	≈ 1	leadership 부분 유지
Africa	≤ 1	≤ 1	≤ 1	stagnation + divergence

→ Asia 의 triple positive — 가장 successful catching-up. Africa 의 triple negative — 정체.

방법론 노트

Malmquist 생산성 지수 (Caves-Christensen-Diewert 1982; Färe-Grosskopf-Norris-Zhang 1994) 의 표준 form:

M^s(x^t, y^t, x^{t+1}, y^{t+1}) = \frac{D^s(x^{t+1}, y^{t+1})}{D^s(x^t, y^t)}

$D^s$ = output distance function in benchmark $s$ .

Intertemporal Malmquist (Pastor-Lovell 2005 의 global Malmquist):

M^I = EC \times BPC = \frac{TE^{t+1}}{TE^t} \times \frac{BPG^{I,t+1}}{BPG^{I,t}}

본 paper 의 Metafrontier Malmquist (Eq. 5):

M^G = EC \times BPC \times TGC

$TGC = TGR^{t+1}/TGR^t$ , $TGR^s = D^I(\cdot)/D^G(\cdot)$ — group 의 intertemporal frontier 의 global frontier 대비 거리.

Output distance function 의 LP 형태:

[D^s(x^{k',s}, y^{k',s})]^{-1} = \max \phi^{k',s}, \quad \text{s.t.} \sum_k \lambda^k y_m^{k,s} \ge \phi y_m^{k',s}, \sum_k \lambda^k x_n^{k,s} \le x_n^{k',s}, \lambda \ge 0

총 6 LP 풀어야 각 producer 의 한 시기 pair (t, t+1) Malmquist index 분해.

식별은 (i) 58 국가 × 31 년 panel variation, (ii) 4 region 그룹 의 cross-section, (iii) DEA 의 deterministic frontier 의 LP-based shadow price 추정에서 온다.

연구 계보

본 paper 의 Malmquist productivity index lineage: Caves-Christensen-Diewert (1982 Econometrica) 의 이론 + Färe-Grosskopf-Norris-Zhang (1994 AER) 의 DEA-based 적용 + Pastor-Lovell (2005 Economics Letters) 의 global Malmquist index 위에 위치. Metaproduction function lineage: Hayami (1969 Journal of Political Economy), Hayami-Ruttan (1970/1971) 의 origin, Ruttan-Binswanger-Hayami-Wade-Weber (1978) 의 envelopment of most efficient producers. Metafrontier 의 frontier analysis 응용: Battese-Rao (2002 International Journal of Business and Economics) — stochastic frontier 의 metafrontier, Battese-Rao-O’Donnell (2004 Journal of Productivity Analysis) — Indonesian garments. 본 paper 의 contribution 은 non-parametric DEA 의 첫 metafrontier 적용.

Cross-country productivity lineage: Hall-Jones (1999 Quarterly Journal of Economics) — Why do some countries produce so much more output per worker than others?, Easterly-Levine (2001 World Bank Economic Review) — TFP and growth. Penn World Table (Heston-Summers 의 표준 데이터).

TEMEP 내 sibling: (i) Total Factor Productivity in Korean Manufacturing Industries — 한국 제조업 TFP 의 firm-level 분석 (parametric TT/GI/non-parametric paired). (ii) Comparative Analysis of Plant Dynamics by Size: Korean Manufacturing — plant-level Griliches-Regev decomposition. (iii) Analysis of product efficiency in the Korean automobile market from a consumer's perspective — 같은 batch 의 consumer-side product efficiency DEA 분석. (iv) The relevance of DEA benchmarking information and the Least-Distance Measure — DEA 방법론 paper. (v) The Effect of Asset Composition Strategy on Venture Capital Firm Efficiency: An Application of Data Envelopment Analysis — VC firm DEA. (vi) Technological Progress versus Efficiency Gain in Manufacturing Sectors — TEMEP Malmquist 라인의 origin paper. 본 paper 는 기술경영경제정책전공 의 productivity 측정 방법론 lineage 의 cross-country 확장 — Asia 의 catching-up 의 정량 framework 제공.

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